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ANEXOS.

ANEXO 1 Cuestionario de Apertura.

1. ¿Qué relación existe entre los lados y los ángulos en todo triangulo?
2. ¿Cuál es el único polígono rígido que existe?
3. ¿Cómo se clasifican los triángulos por la medida de sus ángulos?
4. Si ten dan las medidas ¿Qué necesitas para trazar un triangulo?
5. ¿Cuánto suman los ángulos interiores en un triangulo cualquiera?

ANEXO 2

Actividad 8 LOS TRIÁNGULOS
Nombre __________________________________ Grupo __________ N.L. _____
Analiza el ABC
ABC
A
B
C
A
B
C
a
b
c
¿Qué significa ? ___________________________
¿Cuáles son los elementos de un triángulo cualquiera? __
_______________________________________________
¿Cuáles se representan con mayúsculas? _____________
¿Cuáles se representan con minúsculas?______________
¿Qué relación existe entre cada mayúscula y su minúscula en ABC? _____________________________________
_______________________________________________
¿Cuál es el lado correspondiente a un ángulo cualquiera en ABC? ____________ _____________ y ¿Cómo se representa? ________________________________

Traza un triángulo cuyos lados midan a = 5 cm, b = 7 cm y c = 9 cm.












¿Cuánto mide A? _____ ¿Cuánto mide B? _____ ¿Cuánto mide C? ____
¿Cuál es el lado mayor? _______ ¿Cuál es el ángulo mayor? _______
¿Cuál es el lado menor? _______ ¿Cuál es el ángulo menor? _______
¿Existe relación entre la media de los lados y le medida de los ángulos en un triángulo? ____ ¿Cuál es? ____________________________________________
_________________________________
Traza los triángulos cuyos lados se te dan y clasifícalos poniendo una X en el espacio correspondiente.

a) a = 4 cm, b = 4 cm y c = 4 cm.

Por la medida de sus lados:
___equilátero ___Isósceles ___escaleno

Por la medida de sus ángulos:
__acutángulo__rectángulo __obtusángulo


b) a = 3 cm, b = 4 cm y c = 5 cm.

Por la medida de sus lados:
__equilátero __Isósceles ___escaleno

Por la medida de sus ángulos:
__acutángulo__rectángulo __obtusángulo



c) a = 5 cm, b = 4 cm y c = 5 cm.

Por la medida de sus lados:
__equilátero___Isósceles __escaleno

Por la medida de sus ángulos:
__acutángulo__rectángulo __obtusángulo




d) a = 5 cm, b = 4 cm y c = 7 cm.

Por la medida de sus lados:
___equilátero ___Isósceles ___escaleno

Por la medida de sus ángulos:
__acutángulo__rectángulo __obtusángulo


e) a = 3 cm, b = 4 cm y c = 8 cm

¿Pudiste trazar el triángulo? ______ ¿Por qué? _______________________________
___________________________________

Entonces si tienes 3 segmentos ¿cómo puedes determinar si puedes formar un triángulo con ellos? ___________________
___________________________________
___________________________________

Contesta las siguientes preguntas.
¿Cuándo un triángulo es equilátero? ____________________________________
¿Cuándo es isósceles? _______________________________________________
¿Cuándo es escaleno? _______________________________________________

¿Cuándo un triángulo es acutángulo? ___________________________________
¿Cuándo es rectángulo? ______________________________________________
¿Cuándo es obtusángulo? ____________________________________________

¿Pude un triángulo tener dos ángulos rectos? _______ ¿Por qué? ____________
__________________________________________________________ .
¿Puede un triángulo tener dos ángulos obtusos? _____ ¿Por qué? ____________
______________________­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­_____________________________________.

ANEXO 3.

Actividad 9 EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Nombre __________________________________ Grupo __________ N.L. _____

Traza el triángulo cuyos lados midan a = 6 cm, b = 8 cm y c = 10 cm.











¿Es un triángulo rectángulo? _____ ¿Por qué? __________________________

Dice el Teorema de Pitágoras: “En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”

¿Para qué clase de triángulos es válido el teorema? _______________________

Analiza el Teorema de Pitágoras y las medidas del triángulo que has trazado y contesta las siguientes preguntas:
¿Cuáles son los lados llamados catetos? ____________________________ ¿Cuál de los lados es la hipotenusa? ________________________________
Con los lados del triángulo que trazaste comprueba la eficacia del teorema de Pitágoras en el siguiente espacio.








¿Qué relación existe entre los catetos y el ángulo recto? ____________________
¿Cuál es la posición de la hipotenusa con respecto al ángulo recto?____________
¿Cuál es el mayor de los tres lados de un triángulo rectángulo? _______________ ¿Por qué? __________________________________________
En consecuencia, ¿Tienen catetos e hipotenusa los triángulos que no son rectángulos? ______ ¿Por qué? ________________________________________

Como el Teorema de Pitágoras sólo se cumple para los triángulos rectángulos ya que sólo tienen catetos e hipotenusa los triángulos que son rectángulos determina si los triángulos que se te dan en cada inciso son rectángulos o son oblicuángulos (los que no tienen ángulo recto). A propósito los dibujos no están elaborados con las medidas indicadas.
3
4
5
3
5
7
5
13
12
7
60
11
a) b)










c) d)












¿Puedes determinar con las medidas de los tres lados de un triángulo si es rectángulo o no lo es? ______ ¿Cómo lo harás? __________________________
____________________________________________________________ .

Por otra parte si se sabe que un triángulo es rectángulo, entonces existen catetos e hipotenusa y se cumple el Teorema de Pitágoras, o sea, se cumple la igualdad:

cateto2 + cateto2 = hipotenusa2
(Teorema de Pitágoras)


La expresión algebraica del Teorema de Pitágoras, cat2 + cat2 = hip2, es una herramienta muy importante cuando se desconoce la medida de algún cateto o de la hipotenusa.

Encuentra el lado que no se conoce en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos (que a propósito no están trazados a escala)

25 cm
18 cm
x
6
8
x a) b)










7 cm
8 cm
x
15 cm
11 cm
x
c) d)













10
11
x e) f)
7
9
x















Ahora con tu juego de geometría

a) Traza un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 7 cm y 8 cm.






b) Traza un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 6 cm y uno de sus ángulos agudos mida 25°






c) Traza un triángulo cuya hipotenusa mide 8 cm y uno de sus catetos mide 5 cm.






Y un problema…

x + 3
x + 2
x + 1¿Cuánto mide cada cateto y la hipotenusa en el siguiente triángulo rectángulo?








ANEXO 4





Actividad 10 EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO
CUANDO NO SE CONOCE SU ALTURA.

Nombre __________________________________ Grupo __________ N.L. _____

¿Qué datos necesitas para calcular el área de un triángulo? __________________
¿Qué ángulo debe de formar la base con la altura? _________________________
Entonces, ¿Cómo deben de ser entre sí la base con la altura? ________________

Encuentra el área de los siguientes triángulos.
12 cm
14 cm
18 cm
16 cma) b)






10. 32 cm
8 cmc) d)
11. 6 cm
10. 8 cm




14 cm
14 cm
14 cm
O
A
B
C
D
ABOe) Analiza el siguiente dibujo y contesta
BCOSi el área del mide 70 cm2
¿Cuánto mide el área del ?
__________ ¿Por qué? ____________
CDO_______________________________
¿Cuánto mide el área del ?
__________ ¿Por qué? ___________________________________________
¿Cómo son las áreas entre sí? ______________ ¿Por qué? _________________
_______________________________ ¿Cuánto mide esa altura? _____________

¿Puedes determinar la base y la altura del siguiente triángulo?
b =9 cm
a = 12 cm
c = 15 cm




¿Cuánto mide su base? _________ ¿Cuánto mide su altura? ________
¿Cuánto mide su área? ________________

Otra opción: La fórmula de Herón de Alejandría.

b =9 cm
a = 12 cm
c = 15 cm¿Qué es el perímetro de un triángulo? __
__________________________________
¿Qué necesitas para encontrar el perímetro de un triángulo? ____________
¿Cuánto mide el perímetro del triángulo? _______________
Considerando que es el semiperímetro del triangulo ¿cuánto vale p? _______________ ¿cuánto vale p – a? _______ ¿cuánto vale p – b? _______
¿Cuánto vale p – c? _______
Aplica los valores que has obtenido para evaluar siguiente expresión (que es la fórmula de Herón para encontrar el área de un triángulo):
A =






¿Cuánto vale A? _____________ ¿Existe diferencia con la medida del área que
encontraste anteriormente? ________________
12 cm
5 cm
13 cmEntonces la fórmula de Herón es una opción muy eficiente para encontrar el área de un triángulo cuando no se tiene la altura, ya que para encontrar el área de un triángulo con esta fórmula basta con que se conozcan las medidas de los lados.
Encuentra el área del siguiente triángulo


Con Con






Como existen infinitos triángulos que no tienen indicada su altura, emplea la fórmula de Herón para encontrar el área de los siguientes triángulos.
9 cm
6 cm
11 cm
9 cm
9 cm
14 cma) b)








5. 9 cm
4. 3 cm
9. 4 cm
9 cm
4 cm
10 cmc) d)






ANEXO 5.

Actividad 11 LA UTILIDAD DE LA SEMEJANZA DE LOS TRIÁNGULOS.
Nombre __________________________________ Grupo __________ N.L. _____

PROBLEMA 1. Juan no puede subirse a un poste y quiere saber cuánto mide su altura, como se observa en la figura.
?
h
¿Qué ángulo forma el poste con el suelo? ______
¿Qué ángulo forma Juan, que está parado, con el suelo? _____________________

Considera ahora la misma situación en un día soleado, por lo que tanto Juan, como el poste, originan sombras proporcionales a su altura, como se observa en la siguiente figura
¿Podemos reconocer en el problema la presencia de triángulos? ___________
¿Cuántos son? _________________________
¿Cuáles son? ___________________________
¿Qué tipo de triángulos son? _______________
Separa los triángulos en el siguiente espacio




¿Encuentras semejanza entre los triángulos? ________ ¿Cómo puedes usar esta semejanza para conocer la altura del poste? ______________________________
ABC
~
A’B’C’ El símbolo ~ indica que dos triángulos son semejantes:
A
A’
B
B’
C
C’
~
a
a’
b
b’
c
c’
Cuando dos triángulos son semejantes los lados que se corresponden son proporcionales de donde resultan las proporciones.



Volviendo al problema de Juan con la altura del poste:
¿Se puede medir la altura de Juan? ________ ¿Se puede medir la altura del poste? _____
¿Se puede medir la sombra de Juan? ________ ¿Se puede medir la sombra del poste? ____________
Entonces, los lados correspondientes son las sombras y las alturas. ¿Puedes establecer la proporción que puede auxiliar a Juan en su problema? ________
¿Cuál es?



Aplica tu proporción para resolver el problema.
Encuentra la altura de un poste que proyecta una sombra de 7. 25 m si al mismo tiempo Juan que mide 1. 75 m de estatura proyecta una sombra de 1. 34 m.












PROBLEMA 2. Manuel, que no sabe nadar, necesita saber cuanto mide la anchura del río.
?
a





m
n
p
q
s
uAnaliza la siguiente figura y contesta
¿Son semejantes los triángulos? ____________
Si son semejantes, escribe las proporciones que se forman con los lados:



Aplica tus conocimientos para resolver el problema.
Manuel ubicó una palmera en la otra orilla del río e hizo el siguiente trazo con las medidas que pudo tomar de este lado.
16 m
21 m
s
62 m
a¿Cuánto mide la anchura del río?










¿Todos los triángulos semejantes deben de ser rectángulos? Para contestar, analiza el siguiente par de triángulos.


¿Son semejantes? ______
¿Por qué? _____________
______________________

¿Se pueden plantear las proporciones con la medida de sus lados? __________



~
8 cm
19 cm
24 cm
12 cm
p
da) Encuentra la medida que no se conoce en los lados de los siguientes triángulos.








6 cm
7 cm
8 cm
9 cm
x
yb) Encuentra la medida de x e y.










FGHI
c) Encuentra el área del .
G
6
4
12
F
H
I
8